Page 16 - الرياضيات المتقدمة كتاب الطالب الصف 12 الفصل 2

b Gb ^ Æ{j b {6 1.b d?Wb ç 2;N {j b X?cb f Ÿ .[ gb zB y2b

¦ ^a /n d-* 6 Wy]

` P P4 ± E: ˜‘d7=7 ± _ C4 ±’ Z ´C=hC R ± a= Z C7 ÔQ ± ÐC8: ± b dhC R ± ^= : ± Ò­ E Q:; ±
Û
´C=hC R ± `Û @ ÎC : ± ±Q d Ò –_ C4 ± d µP C _< Ò­ Z b ± c ¯ ÐC ˆ± C<= ¶C d ± û ±b: ±
ÎÔ ÎÔ
˜_94 ± c9 ÍP C C<:=:0 _ EjC ´±S= ²C 8 ± ±Q Î Y Ëb
6e *a -%ra
E= =gR ± ÑC C1 ` R= 4 ± `= ÒC Z ±b ± _ C c ¯ ´C=hC R ± «C:9 R3; º¯ ˜³P C : ± ´±Ò¹­ ` ±ÕR=
b Gb ^ Æ{j b {6 1.b d?Wb ç 2;N {j b X?cb f.[ gb Ÿ zB y2b cA V a ke -x3fa
˜´±S=: ± ÑQ< ³R0 ³»bj _ 7 ± ±Q ` @
Further Differentiation ±º¯Ò ¥`8 ­ C: = ´C4 b ÏC=79 ^= : ± ±Q Ðb P Ò ˜a d7=7 ^= : «C; d C C Ò –´„¹C4 ^8 d
,1Vfa yb Y U1Ne
D R: ± ¹P4 ± ] ±»C< R ± ¤Ð­ C Õ 7 C F:94 »P0: ± ¤û= ³P b ± ÑQ d _Û94 –T72 ± E C ´C4 b ± E9 M± ^:/ ˜^1 ­ ´C4 b c ¯ Îbjb9 ^= : ± `= Ðb ÒC = –R M± ÏS
Complex number E5=j d αÒP9 ·R2 ±Ò Z: ±Ò –F ±b C E ÒR1 C< C Ûb8 `=Ø ±¹ E: E7 / Ò –`=Ø ±¹ ²Rh E7 / P ›-Ÿ
¤d ? C: Õ X Û (› ²R1 Ò –·R2 Ò –Z: –Z C ± û0 ±
d9= ± ¹P4 ± –E R ± ´±»C 4 ± ` C Õ ±Ò¼­ E C ± ³P b ± ˜“Ð d ¹P ÔM’ Ð ½ § “½’ ¹ ÐC ˆ± ] C: d d C8 ± R=5 ± ^= : Ò –“E: R Ò­ C E ¹C _<6 ’ d R/ ± D2 ± _9 Ò –¸C;: ± R=5 ^= : Ò
˜“½ ² — ­œ’ • “½ ² • ­’ ­ “Ð d ¹P ÔM’ Ð ½ § “½’ ¹ E5=j d `= ±¹ E: Ò­ ²Rh ³»bj d αÒP E R ± ÁC7; ± ¹ÛP œ-Ÿ
Imaginary number ˜C<2 Ò E27; ± ` ´C b94 ÏP Ò –E R ± E27; ± “Ãb ’ E4= ¹P Ò –·R2 ±Ò Z: ±Ò –F ±b C ²R1 ± Z
˜“½ ² — ­œ’ “½ ² • ­’ ²
D R: ± ¹P4 ± \ ±R ˜c ÒM± E7 /: ± CÕ P ´C=; ;: ± _ R E R ± –²C 8 ± ±Q d Ò ˜˜˜C R= Ò –E= C: ± ̱b M± ^= : Ò –`6 ±Ò ´±RgC2 ± Íb9 ^= : Ò –´C ; ±Ò бb= ±Ò
“­ — ½ ²œ) — ­Ÿ ¶ –·R2 ±Ò Z: ±Ò –F ±b C ²R1 ± Z E=4= 2 ± E=: »C b9 ± αÒP ±Ò “Ê C< C ­’ E= M± αÒP ± ´C7 / P -Ÿ
Conjugate of a ˜E R: ± αÒP ±Ò αÒP9 E: 7 ±Ò ²R1 ±Ò
¤d ? C: Õ X Û (œ d ± ´±»C 4 ± X –Z C ± û0 ± ˜E b; ^gC ^ Ò CÕ=hC » Ób : ± E Q: c9 ³»P7 ±Ò _<6 ± »b2;
complex number ˜E R: ± αÒP ±Ò αÒP9 E: 7 ±Ò ²R1 ±Ò –·R2 ±Ò Z: ±Ò –F ±b C ²R1 ± Z ½C –½C ´C7 / P ž-Ÿ
P C »­ X2 ¢  - œ ­ ˜±Õ»ÒQ `:1 E C ± ³P b ± E:<: ± _= C6: ± c9 ÎP E=:=94 ± ˱P M±
Argand diagram (Ÿ • œ) (Ÿ - œ) ² ¤C<; –_94 ± E=9: d ]: ¹ ^ ­ ` –³P P ± ´±S=: ± ` E b; E b: c9 ²C 8 ± Q Ôb
df _ b Æ 6- 7b .&sb
E= 27 ± ³»b0 ± b Gb ^ Æ{j b {6 1.b d?Wb ç 2;N {j b X?cb f.[ gb Ÿ zB y2b ²C 8 ± N60 d ÍP C Ò ³P Ò ^ d
 - ž ¶

 • Ÿ b Gb ^ Æ{j b {6 1.b d?Wb ç 2;N {j b X?cb f.[ gb Ÿ zB y2b
Polar form
˜E= <; E7 R2
–›— §½ C E ¹C4: ± ^ ­ (
¶C Ò CÕ7 C C< :94 Z=h±b Îb ` »C: E=9 E R4 cA V ba † y6^M ybfN] ce ^ a ›— D92 d ± E= ±»P ± Îb06 ± d ϱP ^gC _ P7 E2/ M± ÑQ _=:0 _ ¤û/8 ­ E2/ ­ „
C ±ÒS ± `= X ±R ± _<6 d C ± û0 ±
E= »C8 P ± ³»b0 ±
½ c9 `=Ø R2 ± _ ± Î Ã • à Π• Î Ã § ¿
–E C ± C ±ÒS ±Ò E b: ± ³P b ± –R/

Cartesian form ½ — G= ¤E= Š± E = ; ± › û/8 ± ` H ; Э `8:

E= C ±
Ã
¤E:= P Ò­ ² Î P ´C 9 : ± ÏP Ò Î ¿ ,QWHJUDWLRQ DV WKH UHYHUVH RI GLIIHUHQWLDWLRQ C:;= –_<9= ¼ R=86 «C; A R Š± _<14 Ïb7 Ò –³P P ³R8 E 92 ± W4 ÏÛP7 P7 ˜´C/ C;: ±Ò R=86 ±
D R: ± Ób : ±
à +
(›’ .........
Î •

à §
` »C: ± ^ ÎÒC ˜³P b ± ÑQ E ±»P «P ± ^ C<= ¯ ¿
½
˜³¹C ± R= E Ò±S ± ½C= ½
½
½
¼ "y i

›-
Complex plane .( ) C — ÖÓ ^hC6 ± E=9:4 ± ÑQ d: ˜¿ E ±P9 ½ D û= E4 ±R ± ³P b ± d F »¹
ž
˜R60 ± c ¯ ÎÒ@ C Õ 1 ­ Î – à –¿ ÐA –š ½ C P;
E9:8 ^ b E27;9 d4hb: ± a : ± (ž ˜a C ±Ò –a : ± Îb P –R C4 ± û0 ± ›- Ð –F C ¹P Ê G= –Ê • › • Ð ½ › § ¿ ÐA – ½ § ¿ ˜“ÌC7 „±’ ´C b: c9 ^:4 ± R0 ± ±º¯ ^1 ­ HgC ` E2/ M± R: C CÕ C ˜´C R 7: ± _ ¹ ` R e `8:
D R: ± ¹P4 ± ½C=7 C< 4 ±R c ¯ ¶C d ± ´C C : ± ¹P
Ð
F C ±º¯
¿
Ã
Î
Ã
Î CÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ<
£

£
CÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ< –
² –

§
Modulus of a ½ d4hb: ± a : ±Ò – ² § ­ ½ § ½ š ½ ¿ § CÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ< › • Ð ½
³P b ±
E 4 ± ÏP Ò ËR4 ½ š ½
½
½ š ½
²
²
˜³P b ±
complex number £ ² Ÿ £ ² ² ² ¤ ž ² ² ¤ a : ± G= –­ — ² § ³R/ E4 ±R ± ¤a ­ c9 Û V; d ± ³b7 ± E ±¹ ÌC7 ± ³P C F »¹Ò c ¯ P:4 Ò –E 92 ± ` E C R ±Ò ^9: ± P4 E7 R2 ± ÑQ< ˜Z=: ± Z »C8 M± E »C/ C P4 ÔR –³R=5j
¿
½ Ð §
ÐA – ½ § ¿ F C ±º¯
¤P Ò­ ˜ ² ² ² ² § ² b E27;9 ¤b ; ± c9 (›’ E ¹C4: ± N 0 ¤E= Š± ´C:98 C C<6jÒ P; E = ; ± ÑQ R Q ^< M± ` P P
Ð
› — Ð
²
D R: ± ¹P4 ± E4
˜³P b ± ^ ±¹ C<:Û94 E:< ´C 920 d ¤´±¹R6: ± .“Ê F C ± ûh­Ò –³P P ± ³b7 ± c9 _ ± _ –Ð ³b7 ± c ¯ › û Ú h­ ” ˜E b ?: ± R= E9 M± Z ^ C4 ± d E7 ± «C; Ò ^gC : ± ^ ´±»C< R b2
–­ b E27;9 d4hb: ±
¡- ²
½
¤
¤
.| | ­
E27;9 d4hb: ± a : ±Ò Î
Ã
¿
Î
Argument of a

a : ± `= E Ò±S ± ½C= ² ½ × š + ½ Î + ½ à § ½ ¤c9 ^0 –Ê • ½ § ¿ ³»bj d αÒP ± c9 ³P C7 ± ÑQ \= 2
complex number ˜² b
Ã
Î
› `  e
˜d;= ± »b : ±Ò – d4hb: ± ½ Î + ½ à § ¿ c9 Ôb ´±»C ¯ d C< ±»¹¯ _ ¤E =

xiv
xv . ¶ ½ ١ ٢ + س = ص ٧ - س = ص Ò­ ‘ÐC R ±’ c9 ¿C ^8/ S R E9 ­ d ‘ – – – ’ E: ; ± S R E6;0: ± E9 M± „ xiv
xiv
٣
٣
¤d ? C Û : Û^8 ½ E „P ¿ P Ò­
ص
› `  e ˜[=0 ±Ò \gC7 ±Ò \g±R2 ± _ M V 9
٢
٣
٣
٤ + س = ص
س٣ =
٠٫١ - س = ص
س
½
¦ ]1fa , -M 40-i . fa ½ § ¿ ¶ › = ¿ ²  ½ § ¿ ­ d Ò –W4 C<14 _= C6: ± X ±R c9 SÛ R ^ ¹ÛP ËP< X R „Ò ‘^gC : ± ^ ’ Ò­ ‘E Q:; ±’
¿ ½ œ ½ ½
. P Ò? –Ÿ • ½ž (› — ½œ’ § ¿ E ±P ± c; ; E ¹C4 F C ±º¯ ٣ ½ ٣
س = ص
٥٩ - س = ص
½
` ³P P E b: c ¯ ËR4 Э D –complex number E R: ± ¹±P M± E=; _<6 d8 D R: ± ¹P4 ±
.imaginary numbers E=9= ± ¹±P M± E b: d Ò –¹±P M± £ † c&a D4j­ E9 ­ Ðb8 „ C: »Ò ˜´±»C „± d P P ± ²b9 M± c9 P= ± R=1 ± d ] P C : E::0
£ † c&a
¿
d C<4=: Ò – ½ C<; ^ E7 / –αÒP ± ` dgC< „ ¹P ¹b Ò Ñ ­ X2 : ± `Û=
œ

` ³P P ´C b: c ¯ E C ± D ` S ± Z CÕ= C ÏP : ± Ô¹P4 ± ÏC3; ± »Ûb2 ½ = ­
›
³»b0 C d4= R ± »Q ± E C P ­ œ(Ÿ • ½ž’ “› — ½œ’ § ¿ ÏÍ Complex number  ½ ˜` R: ± d ³¹»±b ± ÓR M± E9 M± `
˜F C ¹P Ê G= –Ê • ½ § ¿ E5=0 ±
d E=4= 2 ± ¹±P M± ±b P ± ^g±ÒM± Ðb=hC R C ˜³P P û ±b ^= : ] ºÒ –¹±P M± ¿
˜EÛ= M±
›
› • 
Ê •
§ ¿
½
_< µ»b C = ³R d Ò –E = 0 ± ¹±P M± ÐÛb8 R60 ±Ò E C ± ¹±P M± Îb _ _ –ÛP4 ± . ½ F:9 ±º¯ ¿ E ±P ± c9 Îb0 9 EÛ= 84 ± E=9:4 ± ³P b ± ÑQ d _94
¿
›
d E:< ´C 920 d E= C M± ´±¹R6: ±
›
(› — ½œ’ × œ(Ÿ • ½ž’ + ( œ(Ÿ • ½ž’’ × (› — ½œ’ § › • 
½
½
½
±ÒP7 ±Ò –E = 0 ± ¹±P M± `= ³¹b b _= d Ò –³¹b b E= ; ± ¹±P M± Э Ðb=hC R ± ^ C8 C ËR4Ù C b Ò –^hC6 9 E= 84 ± E=9:4 C E ±P ± ÑQ c9 Îb0 ± E=9: d: D 8 ± d a=9 F C C: R= 8 R ­ ˜˜˜‘C; P ’Ò ‘C; ’Ò ‘` ’ ^ ´±»C E= =hb ± ÏC M± E5 ÏP Ø „
ÒÎ Û
ž ›

_< 6 ­ Ðb=hC R ± «„@ ? C6 P Ò ˜E= ¹±P ­ ³»bj d ¹±P M± Z=: E C `8: a ­ Ê • ½ § ¿ ÒÏ
E= C ± E ±P ± E= C ± E ±P ± E7 /
c ÒM± E ±P ± E7 /
c ÒM± E ±P ±
ž
.integration
Õ
˜F b ± ] º d _=7 C b9 7 _ Ò –œ ^ E= ; ± R= ¹±P M± ËC/ ± P; d C7 R ± Ðb9 C C S==: _ ˜a:94 ÔQ ± Ãbhb: ±
Õ
›
P `=Ø ±¹ ²Rh E7 / ÏP ± (œ’ (Ÿ • ½ž ’ + ((ž’ œ - › (Ÿ • ½ž’ ’ (› — ½œ’ § C C; Ò ˜X7 CÕ ±R Ðb8 Э ` „P –C2/ CÕ »C/ Ðb8 Э c9 ÍS6 E59 ± ÑQ ˜E7 C ± E= ±»P ±
œ –‘^hC6 ± T8 b ½C M± d ^ C8 ±’ Э c9 Û V; S; = Ò ` b= ` ^8 E R3 P b
¿

²
˜E ±P ± E7 / .^ C8 ±Ò ^hC6 ± d E Û = C M± E R3; C E R3; ± ÑQ ËR4 Ò
œ-
½ =
½
Û
(› — ½œ’œ ÑQ< E h±Ò ´C6 R4 Ób : ± `:1 ˜\ C5 ±
˜P ±Ò R ³»bj d ³»C 4 ± D ± Ÿ • ½ž œ + § «C:9 C<= D 8 d ± E7 R2 ± C Õ 1 ­ C< ¯ ˜“˜˜˜‘] º Q=6; _ –ͱº Q=6; _ ’’ ´C:=94 ± ÃC ± Ób ]=9
Ÿ • ½ž ÏP ; C: ¯Ò –^hC6 ± T8 N920: ± ϱP ± c ¯ ¶C „ –E R3; ± ÑQ c9 ±Õ¹C: ±
›
› • œ-
½
§ ¿
Ê •
˜E= C M± ´C 920: ±
› • œ-
(Ÿ • ½ž’œ + (› — ½œ’œ ˜C<; Õ „P X7 ^ C8 ± N920
˜X ± X Û § ] b8 –] P E b ? R= E9 ­ `:1 P ³P P ± ´±»C „± Э C: Ò ˜_< C b94 Ðb R : ± ´C=hC R ±
Ÿ • ½ž Ê • ½ — § ¿
›-
,q-&fa 1yQ ce ^ a
¢ • ½›œ Õ
§ ˜C Õ C R ­ Õ C4 E9 M± ÑQ ^ Z ^ C4 ± ` ];Û8: Ëb –´C=hC R ± _94 d C2/ CÕ »C/
›
Ÿ • ½ž Ê • ½ — § ¿
› W:^ 5
¿
¤d ? C Û : ^8 ½ ¿ P Ò­ (› »b 4 ± `8: d ±Ò –E90 ± ´±º ´C=hC R ± »¹C0: E= ÒR 8 ¯ X ±Ò» –²C 8 ± ` E b; ÏC ­ d C Õ 1 ­ P b

œ½ = ½ ¶
›
›


³b2 E9 M± ` E C ˆ± E9 M± E= <; `Û @ E9 ­ ¢ • ½ § ¿ ² œ - ½ § ¿ ­ Uunderground Mathematics Z b: ± ËP< ˜undergroundmathematics.org d C : ± F R ˆ± Z b c9 C<=9


›
› • 
› § ¿
œ½
Ê •
 • ½ — § “½’ ¹ ¹ › • ½ § ¿ ¶
›
œ-
›Ÿ 
› •
œ
›Ÿ
œ
Ôb C:;= –^ ± ´±b2 `: M± D C ± R<3Ù Ò ˜³b2 Ÿ - œ ½ § “½’ ¹ Ò šIœ • ½ — § “½’ ¹ Ê R b2 c9 ³»P7 C ³¹b ± E= C ¹»±b: ± ÑQ û0Û Ò ˜´C=hC R ± E 9 Z=: E Ûb/ Ò E=; ¹±b ¶C ¯ c ¯

œ
›
¡-
Ÿ
›
¢  Ê • œ½ § ¿
¡ Ÿ
d ³P: 4 ³b2 ^ ·R/ ´C7=94 c9 R M± D C ± c9 Îb0 9 ³P C P Э ÎÒC Ò –]g ¼ Z C<=9 F90 d ± HgC ; ± U C (œ ˜P= ^8/ C<; ³¹C6 „± c9 ]4 / ] Q –P ±Ò F Ò d ´C=;7 ± ³R b Ò –] P dhC R ± R=86 ± ´±»C<
œ
¿ œ½ § ¿
Ê • Ÿ œ Ÿ
Õ
Ð
˜^ ± . ½ § ½ Э F:9 ±º¯ ¿ ^8/ ] R4 \: Ò ]:< S S4 c9 P C a;8 Ò –CÕ= ±S ¯ C C/ T= E= ÒR 8 ˆ± Z ±b: ± ÑQ ËC/8 ± Я
˜´C:98 C C<=9 F90 d ± ³P C7 ± û Ú j (
ÑQ ¼S4 ˜E= Ch¯ _ ¹ E2/ ­ c9 Ôb û/8 ± ˜E R 7: ± E2/ M± ÎC:8 ± Î ` R=
¿
›
C P; ¿ ¹C ˆ ³P C7 ± ÑQ E Û j ]g ¼ Z U C (ž
. =
½
½
ËP< C: –бR M± E/ C; Ò d C: ± ^:4 ± E2/ M±
˜ÏP7 ± ` P S b ³P= E 2 ± ²C 8 ± ±Q< ] ±»¹ Ðb8 Э b R –·C ; ± ^ ] c;: º¯ ` Ò
E9 ­ ´C C ¯ R= b _ ’ ˜Ïb<6:9 ]:< \=:4 c ¯
“_94: ± ^= ¹ ²C d ËC/8 „±
xiv
11-038 MOE book 33.indd 15 25/12/2023 4:35 PM