Page 15 - الرياضيات المتقدمة كتاب الطالب الصف 12 الفصل 2

b Gb ^ Æ{j b {6 1.b d?Wb ç 2;N {j b X?cb f Ÿ .[ gb zB y2b .[ gb zB y2b
b Gb ^ Æ{j b {6 1.b d?Wb ç 2;N {j b X?cb f Ÿ

¦ ^a /n d-* 6 Wy] ^a /n d-* 6 Wy]
¦

` P P4 ± E: ˜‘d7=7 ± _ C4 ±’ Z ´C=hC R ± a= Z C7 ÔQ ± ÐC8: ± b dhC R ± ^= : ± Ò­ E Q:; ± P P4 ± E: ˜‘d7=7 ± _ C4 ±’ Z ´C=hC R ± a= Z C7 ÔQ ± ÐC8: ± b dhC R ± ^= : ± Ò­ E Q:; ±
` Û Û
´C=hC R ±
´C=hC R ± `Û @ ÎC : ± ±Q d Ò –_ C4 ± d µP C _< Ò­ Z b ± c ¯ ÐC ˆ± C<= ¶C d ± û ±b: ± `Û @ ÎC : ± ±Q d Ò –_ C4 ± d µP C _< Ò­ Z b ± c ¯ ÐC ˆ± C<= ¶C d ± û ±b: ±
ÎÔ ÎÔ ÎÔÎÔ
˜_94 ± c9 ÍP C C<:=:0 _ EjC ´±S= ²C 8 ± ±Q Î Y
˜_94 ± c9 ÍP C C<:=:0 _ EjC ´±S= ²C 8 ± ±Q Î Y Ëb Ëb

6e *a -%ra 6e *a -%ra
E= =gR ±
E= =gR ± ÑC C1 ` R= 4 ± `= ÒC Z ±b ± _ C c ¯ ´C=hC R ± «C:9 R3; º¯ ˜³P C : ± ´±Ò¹­ ` ±ÕR= ÑC C1 ` R= 4 ± `= ÒC Z ±b ± _ C c ¯ ´C=hC R ± «C:9 R3; º¯ ˜³P C : ± ´±Ò¹­ ` ±ÕR=
b Gb ^ Æ{j b {6 1.b d?Wb ç 2;N {j b X?cb f.[ gb cA
b Gb ^ Æ{j b {6 1.b d?Wb ç 2;N {j b X?cb f.[ gb Ÿ zB y2b Ÿ zB y2b
cA V a ke -x3fa V a ke -x3fa
˜´±S=: ± ÑQ< ³R0 ³»bj _ 7 ± ±Q ` @
˜´±S=: ± ÑQ< ³R0 ³»bj _ 7 ± ±Q ` @
±º¯Ò ¥`8 ­ C: = ´C4 b ÏC=79 ^= : ± ±Q Ðb P Ò ˜a d7=7 ^= : «C; d C C Ò –´„¹C4 ^8 d ¥`8 ­ C: = ´C4 b ÏC=79 ^= : ± ±Q Ðb P Ò ˜a d7=7 ^= : «C; d C C Ò –´„¹C4 ^8 d
Further Differentiation Differentiation
Further ±º¯Ò
yb Y U1Ne
,1Vfa
,1Vfa yb Y U1Ne
–T72 ± E C ´C4 b ± E9 M± ^:/ ˜^1 ­ ´C4 b c ¯ Îbjb9 ^= : ± `= Ðb ÒC = –R M± ÏS E C ´C4 b ± E9 M± ^:/ ˜^1 ­ ´C4 b c ¯ Îbjb9 ^= : ± `= Ðb ÒC = –R M± ÏS
D R: ± ¹P4 ±
D R: ± ¹P4 ± ] ±»C< R ± ¤Ð­ C Õ »P0: ± ¤û= ³P b ± ÑQ d _Û –T72 ±
] ±»C< R ±
¤Ð­ C Õ 7 C F:94 7 C F:94
»P0: ±
¤û= ³P b ± ÑQ d _Û94 94
E5=j d αÒP9 ·R2 ±Ò Z: ±Ò –F ±b C E ÒR1 C< C Ûb8 `=Ø ±¹ E: E7 / Ò –`=Ø ±¹ ²Rh E7 / P ›-Ÿb8 `=Ø ±¹ E: E7 / Ò –`=Ø ±¹ ²Rh E7 / P ›-Ÿ
Complex number E5=j d αÒP9 ·R2 ±Ò Z: ±Ò –F ±b C E ÒR1 C< C Û
Complex number
¤d ? C: Õ X Û (› X Û (›
¤d ? C: Õ ²R1 Ò –·R2 Ò –Z:
²R1 Ò –·R2 Ò –Z: –Z C ± û0 ± –Z C ± û0 ±
ÐC ˆ± ] C: d d C8 ± R=5 ± ^= : Ò –“E: R Ò­ C E ¹C _<6 ’ d R/ ± D2 ± _9 Ò –¸C;: ± R=5 ^= : Ò ] C: d d C8 ± R=5 ± ^= : Ò –“E: R Ò­ C E ¹C _<6 ’ d R/ ± D2 ± _9 Ò –¸C;: ± R=5 ^= : Ò
˜“Ð d ¹P ÔM’ Ð ½ § “½’ ¹½ § “½’ ¹
d9= ± ¹P4 ± ˜“½ ² — ­œ’ • “½ ² • ­’ ­ –E R –E R ± ´±»C 4 ± ` C Õ ±Ò¼­ ± ´±»C 4 ± ` C Õ ±Ò¼­ E C E C ± ³P b ± ± ³P b ± “Ð d ¹P ÔM’ Ð ˜“Ð d ¹P ÔM’ Ð ÐC ˆ±
d9= ± ¹P4 ±
“Ð d ¹P ÔM’ Ð ½ § “½’ ¹ E5=j d `= ±¹ E: Ò­ ²Rh ³»bj d αÒP E R ± ÁC7; ± ¹ÛP œ-Ÿ½ § “½’ ¹ E5=j d `= ±¹ E: Ò­ ²Rh ³»bj d αÒP E R ± ÁC7; ± ¹ÛP œ-Ÿ
˜“½ ² — ­œ’ • “½ ² • ­’ ­
˜C<2 Ò
Imaginary number
Imaginary number ˜C<2 Ò E27; ± ` ´C b94 ÏP Ò –E R ± E27; ± “Ãb ’ E4= ¹P Ò –·R
E27; ± ` ´C b94 ÏP Ò –E R ± E27; ± “Ãb ’ E4= ¹P Ò –·R2 ±Ò Z: ±Ò –F ±b C ²R1 ± Z 2 ±Ò Z: ±Ò –F ±b C ²R1 ± Z
˜“½ ² — ­œ’ “½ ² • ­’ ²
˜“½ ² — ­œ’ “½ ² • ­’ ²
–²C 8 ± ±Q d Ò ˜˜˜C R= Ò –E= C: ± ̱b M± ^= : Ò –`6 ±Ò ´±RgC2 ± Íb9 ^= : Ò –´C ; ±Ò бb= ±Ò ±Q d Ò ˜˜˜C R= Ò –E= C: ± ̱b M± ^= : Ò –`6 ±Ò ´±RgC2 ± Íb9 ^= : Ò –´C ; ±Ò бb= ±Ò
˜c ÒM± E7 /: ± CÕ P ´C=; ;: ± _ R E R ± P ´C=; ;: ± _ R E R ±
D R: ± ¹P4 ± \ ±R
D R: ± ¹P4 ± \ ±R “­ — ½ ²œ) — ­Ÿ ¶ –·R2 ±Ò Z: ±Ò –F ±b C ²R1 ± Z E=4= 2 ± E=: »C b9 ± αÒP ±Ò “Ê C< C ­’ E= M± αÒP ± ´C7 / P -Ÿ -Ÿ –²C 8 ±
˜c ÒM± E7 /: ± CÕ
“­ — ½ ²œ) — ­Ÿ ¶
Conjugate of a
Conjugate of a –·R2 ±Ò Z: ±Ò –F ±b C ²R1 ± Z E=4= 2 ± E=: »C b9 ± αÒP ±Ò “Ê C< C ­’ E= M± αÒP ± ´C7 / P
˜E R: ± αÒP ±Ò αÒP9 E: 7 ±Ò ²R1 ±Ò
˜E R: ± αÒP ±Ò αÒP9 E: 7 ±Ò ²R1 ±Ò
˜E b; ^gC ^ Ò CÕ=hC » Ób : ± E Q: c9 ³»P7 ±Ò _<6 ± »b2; =hC » Ób : ± E Q: c9 ³»P7 ±Ò _<6 ± »b2;
¤d ? C: Õ X Û (œ(œ
d ± ´±»C 4 ± X –Z C ± û0 ±–Z C ± û0 ±
complex number number
complex ¤d ? C: Õ X Û d ± ´±»C 4 ± X ˜E R: ± αÒP ±Ò αÒP9 E: 7 ±Ò ²R1 ±Ò –·R2 ±Ò Z: ±Ò –F ±b C ²R1 ± Z ½C –½C ´C7 / P ˜E b; ^gC ^ Ò CÕ
˜E R: ± αÒP ±Ò αÒP9 E: 7 ±Ò ²R1 ±Ò –·R2 ±Ò Z: ±Ò –F ±b C ²R1 ± Z ½C –½C ´C7 / P ž-Ÿ ž-Ÿ
E:<: ± _= C6: ± c9 ÎP E=:=94 ± ˱P M± _= C6: ± c9 ÎP E=:=94 ± ˱P M±
˜±Õ»ÒQ `:1 E C ± ³P b ±E C ± ³P b ±
¢  - œ ­
P C »­ X2
P C »­ X2 ¢  - œ ­ ˜±Õ»ÒQ `:1 E:<: ±
(Ÿ • œ) (Ÿ - œ) ²
Argand diagram diagram
Argand (Ÿ • œ) (Ÿ - œ) ² ¤C<; –_94 ± E=9: d ]: ¹ ^ ­ ` –³P P ± ´±S=: ± ` E b; E
¤C<; –_94 ± E=9: d ]: ¹ ^ ­ ` –³P P ± ´±S=: ± ` E b; E b: c9 ²C 8 ± Q Ôb b: c9 ²C 8 ± Q Ôb
²C 8 ± N60 d ÍP C Ò ³P Ò ^ d N60 d ÍP C Ò ³P Ò ^ d
df _ b Æ 6- 7b .&sb
df _ b Æ 6- 7b .&sb
E= 27 ± ³»b0 ±
E= 27 ± ³»b0 ± b Gb ^ Æ{j b {6 1.b d?Wb ç 2;N {j b X?cb f.[ gb ²C 8 ±
¶
 - ž
 - ž ¶

b Gb ^ Æ{j b {6 1.b d?Wb ç 2;N {j b X?cb f.[ gb Ÿ zB y2b Ÿ zB y2b
b Gb ^ Æ{j b {6 1.b d?Wb ç 2;N {j b X?cb f.[ gb Ÿ zB y2b Ÿ zB y2b
  • Ÿ • Ÿ b Gb ^ Æ{j b {6 1.b d?Wb ç 2;N {j b X?cb f.[ gb
Polar form form
Polar
˜E= <; E7 R2
„
D92 d ± E= ±»P ± Îb06 ± d ϱP ^gC _ P7 E2/ M± ÑQ _=:0 _ ¤û/8 ­ E2/ ­ d ± E= ±»P ± Îb06 ± d ϱP ^gC _ P7 E2/ M± ÑQ _=:0 _ ¤û/8 ­ E2/ ­
–›— §½ C E ¹C4: ± ^ ­ ((
C ±ÒS ± `= X ±R ± _<6 d C ± û0 ± d C ± û0 ±
C ±ÒS ± `= X ±R ± _<6
–›— §½ C E ¹C4: ± ^ ­
¶C Ò CÕ7 C C< :94 Z=h±b Îb ` »C: E=9 E R4 CÕ7 C C< :94 Z=h±b Îb ` »C: E=9 E R4
E= »C8 P ± ³»b0 ±
E= »C8 P ± ³»b0 ±
cA V ba † y6^M ybfN] ce ^ a ›— y6^M ybfN] ce ^ a ›—
¶C Ò ½ ½ c9 `=Ø R2 ± _ ± Î Ã • à Π• Î Ã § ¿ c9 `=Ø R2 ± _ ± Î Ã • à Π• Î Ã § ¿ cA V ba † ˜E= <; E7 R2 D92 „
–E C ± C ±ÒS ±Ò E b: ± ³P b ± –R/ ³P b ± –R/

–E C ± C ±ÒS ±Ò E b: ±
½
½ — G= — G=
Cartesian form form
Cartesian P ´C 9 : ± ÏP Ò E= C ± ¤E= Š± E = ; ±
¤E= Š± E = ; ± › û/8 ± ` H ; Э `8: › û/8 ± ` H ; Э `8:
P ´C 9 : ± ÏP Ò
E= C ±
Ã
¤E:= P Ò­ ² Î
,QWHJUDWLRQ DV WKH UHYHUVH RI GLIIHUHQWLDWLRQ ,QWHJUDWLRQ DV WKH UHYHUVH RI GLIIHUHQWLDWLRQ
¿
C:;= –_<9= ¼ R=86 «C; A R Š± _<14 Ïb7 Ò –³P P ³R8 E 92 ± W4 ÏÛP7 P7 ˜´C/ C;: ±Ò R=86 ± –_<9= ¼ R=86 «C; A R Š± _<14 Ïb7 Ò –³P P ³R8 E 92 ± W4 ÏÛP7 P7 ˜´C/ C;: ±Ò R=86 ±
D R: ± Ób : ±
D R: ± Ób : ±
(›’ ......... ’ .........
à §
Î •
à §
(›

` »C: ± ¤E:= P Ò­ ² Î ½ à à + + ½ ½ à Π• Î Î ¿ ¿ ¿ C:;=
` »C: ± ^ ÎÒC ˜³P b ± ÑQ E ±»P «P ± ^ C<= ¯ ^ ÎÒC ˜³P b ± ÑQ E ±»P «P ± ^ C<= ¯
˜³¹C ± R= E Ò±S ± ½C= ½ ½
½
˜³¹C ± R= E Ò±S ± ½C=
½
½

¼ "y i
.( ) C — C —
D û= E4 ±R ± ³P b ± d F »¹ û= E4 ±R ± ³P b ± d F »¹
^hC6 ± E=9:4 ± ÑQ d: ˜¿ E ±P9 E=9:4 ± ÑQ d: ˜¿ E ±P9
Complex plane
Complex plane .( )  ›- ›- ÖÓ ÖÓ ^hC6 ± ½ ½ D ¼ "y i
ž
ž
´C b: c9 ^:4 ± R0 ± ±º¯ ^1 ­ HgC ` E2/ M± R: C CÕ C ˜´C R 7: ± _ ¹ ` R e `8: c9 ^:4 ± R0 ± ±º¯ ^1 ­ HgC ` E2/ M± R: C CÕ C ˜´C R 7: ± _ ¹ ` R e `8:
˜R60 ± c ¯ ÎÒ@ C Õ 1 ­ Î – à –¿ ÐA –š ½ C P; – à –¿ ÐA –š ½ C P;
˜R60 ± c ¯ ÎÒ@ C Õ 1 ­ Î
E9:8 b E27;9 d4hb: ± a : ± (ž ˜a C ±Ò –a : ± Îb P ¿ ›- › • Ð › • Ð ½ § ¿ ÐA – ½ § ¿ ¿ ˜“ÌC7 „±’ ´C b:
E9:8 ^ C< 4 ±R c ¯ ¶C d ± ´C C : ± ¹P
D R: ± ¹P4 ± ½C=7 C< 4 ±R c ¯ ¶C d ± ´C C : ± ¹P ^
D R: ± ¹P4 ± ½C=7
›
›
§ ¿ ÐA – ½ § ˜“ÌC7 „±’
›- Ð –F C ¹P Ê G= –Ê • Ð –F C ¹P Ê G= –Ê •
Ð
b E27;9 d4hb: ± a : ± (ž ˜a C ±Ò –a : ± Îb P –R C4 ± û0 ± –R C4 ± û0 ±
F C ±º¯
F C ±º¯
½
Ð
Ã
Ã
Ã
Î
Î
› • Ð
CÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ<
§
Modulus of a
CÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ< – –
§
² –

£

³P b ±
³P b ±
Modulus of a ½ § § Î Î CÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ< CÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ< £ £ ²  ² ² § ­ £ à ² – § § CÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ< ¿ ¿ ¿ CÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ< › • Ð ½ ½
²
d4hb: ± a : ±Ò – ² § ­ ½ ½
E 4 ± ÏP Ò ËR4
½ š ½
½ š ½
½ ½ š ½
½
E 4 ± ÏP Ò ËR4 ½ š ½
²
²
½ d4hb: ± a : ±Ò – ²
½ š ½
½ š ½
¤a ­ c9 Û V; d ± ³b7 ± E ±¹ ÌC7 ± ³P C F »¹ÒV; d ± ³b7 ± E ±¹ ÌC7 ± ³P C F »¹Ò
c ¯ P:4 Ò –E 92 ± ` E C R ±Ò ^9: ± P4 E7 R2 ± ÑQ< ˜Z=: ± Z »C8 M± E »C/ C P4 ÔR –³R=5j P:4 Ò –E 92 ± ` E C R ±Ò ^9: ± P4 E7 R2 ± ÑQ< ˜Z=: ± Z »C8 M± E »C/ C P4 ÔR –³R=5j
˜³P b ±
˜³P b ±
³R/ E4 ±R ±
complex number number
complex £ ² ² Ÿ £ Ÿ ² £ £ ² ² ² ¤ ¤ ž ² ² ž ¤ ² ² ¤ a : ± G= –­ — ² § ³R/ E4 ±R ± ¤a ­ c9 Û c ¯
a : ± G= –­ — ² §
¿
¿
² § ² b E27;9 E27;9
ÐA – ½ § ¿ F C ±º¯ ½ § ¿ F C ±º¯
¤E= Š± ´C:98 C C<6jÒ P; E = ; ± ÑQ R Q ^< M± ` P P
½ Ð §
½ Ð § ÐA –
²
› — Ð
Ð
¤P Ò­ ˜ ²²
› — Ð
Ð
²
¤b ; ± c9 (›’ E ¹C4: ± N 0 (›’ E ¹C4: ± N 0
¤P Ò­ ˜ ² ² ² § ² b ¤b ; ± c9 ¤E= Š± ´C:98 C C<6jÒ P; E = ; ± ÑQ R Q ^< M± ` P P
²
D R: ± ¹P4 ± E4
¤ ¡-
D R: ± ¹P4 ± E4
˜³P b ± ^ ±¹ C<:Û94 E:< ´C 920 d ¤´±¹R6: ±94 E:< ´C 920 d ¤´±¹R6: ±
–­ b E27;9 d4hb: ± E27;9 d4hb: ±
–­ b
½
½
¡- ²²
²
˜³P b ± ^ ±¹ C<:Û ¤ ¤ ¤ .| | ­ E27;9 d4hb: ± a : ±Ò ¿ ¿ .“Ê F C ± ûh­Ò –³P P ± ³b7 ± c9 _ ± _ –Ð ³b7 ± ˜E b ?: ± R= E9 M± Z ^ C4 ± d E7 ± «C; Ò ^gC : ± ^ ´±»C<
.| | ­
˜E b ?: ± R= E9 M± Z ^ C4 ± d E7 ± «C; Ò ^gC : ± ^ ´±»C< R b2 R b2
.“Ê F C ± ûh­Ò –³P P ± ³b7 ± c9 _ ± _ –Ð ³b7 ± c ¯ › û Ú h­ ” c ¯ › û Ú h­ ”
Ã
Ã
E27;9 d4hb: ± a : ±Ò Î Î
Î
Î
Argument of a
Argument of a
× š + Î +
à §
¤c9 ^0 –Ê • ½ § ¿ ³»bj d αÒP ± c9 ³P C7 ± ÑQ \= 2 ½ § ¿ ³»bj d αÒP ± c9 ³P C7 ± ÑQ \= 2
a : ± `= E Ò±S ± ½C= ² ½ × š + ½ ½ Î + à § ½ ½ ¤c9 ^0 –Ê •  
½
½
½
a : ± `= E Ò±S ± ½C= ²
complex ˜² b
c9 Ôb ´±»C ¯ d C< ±»¹¯ _ ¤E = E =
complex number number
˜² b
Ã
Ã
¿
¿
Î
Î
Î + Ã §
˜d;= ± »b : ±Ò – d4hb: ± d4hb: ±
˜d;= ± »b : ±Ò – ½ ½ Î + ½ ½ à § c9 Ôb ´±»C ¯ d C< ±»¹¯ _ ¤ › `  e
› `  e
xv
xiv
xiv
xiv
xiv
xiv
xv . ¶ ½ ½ ١ ٢ + + س = صس = ص ٧ - ٧ - س = صس = ص Ò­ „ xiv
„
٣
٣
١ ٣
٣
Ò­ ‘ÐC R ±’ c9 ¿C ^8/ S R E9 ­ d ‘ – – – ’ E: ; ± S R E6;0: ± E9 M± ‘ÐC R ±’ c9 ¿C ^8/ S R E9 ­ d ‘ – – – ’ E: ; ± S R E6;0: ± E9 M±
٢
. ¶
˜[=0 ±Ò \gC7 ±Ò \g±R2 ± _ M V 9

¤d ? C Û : Û^8 ½ E „P ¿ P Ò­ ¤d ? C Û : Û^8 ½ E „P ¿ P Ò­
ص
ص
› `  e ¿ ¿ ˜[=0 ±Ò \gC7 ±Ò \g±R2 ± _ M V 9
› `  e
٣
٢
٣
٢
٣
٣
٠٫١ -
٤ +
س٣ =
٤ + س = صس = ص
٠٫١ - س = صس = ص
س٣ =
س
س
¿
¿
d Ò –W4 C<14 _= C6: ± X ±R c9 SÛ R ^ ¹ÛP ËP< X R „Ò ‘^gC : ± ^ ’ Ò­ ‘E Q:; ±’ –W4 C<14 _= C6: ± X ±R c9 SÛ R ^ ¹ÛP ËP< X R „Ò ‘^gC : ± ^ ’ Ò­ ‘E Q:; ±’
¿
› ¿
= ²
›

½½

½ §
œ =
¦ ]1fa , -M 40-i . fa ½ § ½ §
¿ ¿ ¦ ]1fa , -M 40-i . fa ½ ½ ¶¶ œ ٣ ½ ½ ½ ²  ½ § ½ ½ ­­ d Ò
. . P Ò? –Ÿ • ½ž ٣ ½ ٣ ٣
P Ò? –Ÿ • ½ž (› — ½œ’ § ¿ E ±P ± c; ; E ¹C4 F C ±º¯ (› — ½œ’ § ¿ E ±P ± c; ; E ¹C4 F C ±º¯
س = ص
س = ص
٥٩ - س = صس = ص
½
½
` ` ³P P E b: c ¯ ËR4 Э D –complex number E R: ± ¹±P M± E=; _<6 d8 ³P P E b: c ¯ ËR4 Э D –complex number E R: ± ¹±P M± E=; _<6 d8 ٥٩ -
D R: ± ¹P4 ±D R: ± ¹P4 ±
D4j­ E9 ­ Ðb8 „ C: »Ò ˜´±»C „± d P P ± ²b9 M± c9 P= ± R=1 ± d ] P C : E::0 E9 ­ Ðb8 „ C: »Ò ˜´±»C „± d P P ± ²b9 M± c9 P= ± R=1 ± d ] P C : E::0
£ † c&a
.imaginary numbers E=9= ± ¹±P M± E b: d Ò –¹±P M± E=9= ± ¹±P M± E b: d Ò –¹±P M±
.imaginary numbers £ † c&a £ † c&a D4j­
£ † c&a
œ
d d C<4=: Ò – ½ C<; ^ E7 / –αÒP ± ` dgC< „ ¹P ¹b Ò Ñ ­ X2 : ± `Û= C<4=: Ò – ½ C<; ^ E7 / –αÒP ± ` dgC< „ ¹P ¹b Ò Ñ ­ X2 : ± `Û=
¿
œ
¿


½ = =
` ` ³P P ´C b: c ¯ E C ± D ` S ± Z CÕ= C ÏP : ± Ô¹P4 ± ÏC3; ± »Ûb2 ³P P ´C b: c ¯ E C ± D ` S ± Z CÕ= C ÏP : ± Ô¹P4 ± ÏC3; ± »Ûb2 ½ ­­
›
›
Complex number
˜` R: ± d ³¹»±b ± ÓR M± E9 M± `
 ½
³»b0 C d4= R ± »Q ± E C P ­ œ(Ÿ • ½ž’ “› — ½œ’ § ¿ ÏÍ Complex number  ½ ˜` R: ± d ³¹»±b ± ÓR M± E9 M± `
³»b0 C d4= R ± »Q ± E C P ­
œ(Ÿ • ½ž’ “› — ½œ’ § ¿ ÏÍ
˜F C ¹P Ê G= –Ê •
˜F C ¹P Ê G= –Ê • ½ § ¿ E5=0 ±½ § ¿ E5=0 ±
d E=4= 2 ± ¹±P M± ±b P ± ^g±ÒM± Ðb=hC R C ˜³P P û ±b ^= : ] ºÒ –¹±P M± E=4= 2 ± ¹±P M± ±b P ± ^g±ÒM± Ðb=hC R C ˜³P P û ±b ^= : ] ºÒ –¹±P M±
d ˜EÛ= M± ¿ ›
˜EÛ= M±
¿
F:9 ±º¯ ¿ E ±P ± c9 Îb0 9 EÛ= 84 ± E=9:4 ± ³P b ± ÑQ d _94 = 84 ± E=9:4 ± ³P b ± ÑQ d _94
Ê • ½
½
§ ¿
_< µ»b C = ³R d Ò –E = 0 ± ¹±P M± ÐÛb8 R60 ±Ò E C ± ¹±P M± Îb _ _ –ÛP4 ± µ»b C = ³R d Ò –E = 0 ± ¹±P M± ÐÛb8 R60 ±Ò E C ± ¹±P M± Îb _ _ –ÛP4 ±
_< › › › › ¿ ¿ . . F:9 ±º¯ ¿ E ±P ± c9 Îb0 9 EÛ Ê • › •  › •  › § ¿
½
½
› • 
d E:< ´C 920 d E= C M± ´±¹R6: ± E:< ´C 920 d E= C M± ´±¹R6: ±
(› (› — ½œ’ — ½œ’ × œ × œ(Ÿ • ½ž’ + ( œ(Ÿ • ½ž’’ (Ÿ • ½ž’ + ( œ(Ÿ • ½ž’’ × × (› — ½œ’ § (› — ½œ’ § › • 
d
„
D 8 ± d a=9 F C C: R= 8 R ­ ˜˜˜‘C; P ’Ò ‘C; ’Ò ‘` ’ ^ ´±»C E= =hb ± ÏC M± E5 ÏP Ø ‘C; P ’Ò ‘C; ’Ò ‘` ’ ^ ´±»C E= =hb ± ÏC M± E5 ÏP Ø
±ÒP7 ±Ò ½ ½ ½ ½ ½ ½ ^ C8 C D 8 ± d a=9 F C C: R= 8 R ­ ˜˜˜ „
±ÒP7 ±Ò –E = 0 ± ¹±P M± `= ³¹b b _= d Ò –³¹b b E= ; ± ¹±P M± Э Ðb=hC R ± –E = 0 ± ¹±P M± `= ³¹b b _= d Ò –³¹b b E= ; ± ¹±P M± Э Ðb=hC R ±
^ C8 C ËR4Ù C b Ò –^hC6 9 E= 84 ± E=9:4 C E ±P ± ÑQ c9 Îb0 ± E=9: d: ËR4Ù C b Ò –^hC6 9 E= 84 ± E=9:4 C E ±P ± ÑQ c9 Îb0 ± E=9: d:
ÒÎ ÒÎ ž ›› Û Û

Ê • ½ § ¿ ½ § ¿
_< 6 ­ Ðb=hC R ± «„@ ? C6 P Ò ˜E= ¹±P ­ ³»bj d ¹±P M± Z=: E C `8: a ­ Ðb=hC R ± «„@ ? C6 P Ò ˜E= ¹±P ­ ³»bj d ¹±P M± Z=: E C `8: a ­
c ÒM± E ±P ± E7 / E= C ± E ±P ± E= C ± E ±P ± E7 /
c ÒM± E ±P ±
_< 6 ­ c ÒM± E ±P ± E7 / E= C ± E ±P ± E= C ± E ±P ± E7 / c ÒM± E ±P ± Ê • ž ž ž . .integrationintegration ÒÏ ÒÏ
d C7 R ± Ðb9 C C S==: _ ˜a:94 ÔQ ± Ãbhb: ± Ðb9 C C S==: _ ˜a:94 ÔQ ± Ãbhb: ±
˜F b ± ] º d _=7 C b9 7 _ Ò –œ ^ E= ; ± R= ¹±P M± ËC/ ± P; ^ E= ; ± R= ¹±P M± ËC/ ± P;
C C; Ò ˜X7 CÕ ±R Ðb8 Э ` „P –C2/ CÕ »C/ Ðb8 Э c9 ÍS6 E59 ± ÑQ ˜E7 C ± E= ±»P ± C; Ò ˜X7 CÕ ±R Ðb8 Э ` „P –C2/ CÕ »C/ Ðb8 Э c9 ÍS6 E59 ± ÑQ ˜E7 C ± E= ±»P ±
˜F b ± ] º d _=7 C b9 7 _ Ò –œ › › › › d C7 R ± Õ Õ Õ Õ
(œ’ (Ÿ • ½ž ’ + ((ž’ œ - -
(Ÿ • ½ž’ ’ (› — ½œ’ § ½ž’ ’ (› — ½œ’ §
P `=Ø (œ’ (Ÿ • ½ž ’ + ((ž’ œ (Ÿ • C
P `=Ø ±¹ ²Rh E7 / ÏP ± ±¹ ²Rh E7 / ÏP ±
œ œ –‘ –‘^hC6 ± T8 b ½C M± d ^ C8 ±’ Э c9 Û V; S; = Ò ` b= ` ^8 E R3 P b ^hC6 ± T8 b ½C M± d ^ C8 ±’ Э c9 Û V; S; = Ò ` b= ` ^8 E R3 P b
¿
¿
²
˜E ±P ± E7 / .^ C8 ±Ò ^hC6 ± d E Û œ- ½ ½ = = ½ ½ ²
˜E ±P ± E7 /
œ-
ÑQ< E h±Ò ´C6 R4 Ób : ± `:1 ˜\ C5 ± E h±Ò ´C6 R4 Ób : ± `:1 ˜\ C5 ±
.^ C8 ±Ò ^hC6 ± d E Û = C M± E R3; C E R3; ± ÑQ ËR4 Ò= C M± E R3; C E R3; ± ÑQ ËR4 Ò
(› — (› — ½œ’œ ½œ’œ ÑQ< Û Û
«C:9 C<= D 8 d ± E7 R2 ± C Õ 1 ­ C< ¯ ˜“˜˜˜‘] º Q=6; _ –ͱº Q=6; _ ’’ ´C:=94 ± ÃC ± Ób ]=9 ‘] º Q=6; _ –ͱº Q=6; _ ’’ ´C:=94 ± ÃC ± Ób ]=9
Ÿ • ½ž œ + œ +
˜P ±Ò R ³»bj d ³»C 4 ± D ± Ÿ • ½ž § § «C:9 C<= D 8 d ± E7 R2 ± C Õ 1 ­ C< ¯ ˜“˜˜˜
˜P ±Ò R ³»bj d ³»C 4 ± D ±
ÏP ; C: ¯Ò –^hC6 ± T8 N920: ± ϱP ± c ¯ ¶C „ –E R3; ± ÑQ c9 ±Õ¹C: ± C: ¯Ò –^hC6 ± T8 N920: ± ϱP ± c ¯ ¶C „ –E R3; ± ÑQ c9 ±Õ¹C: ±
Ÿ • ½ž
Ÿ • ½ž ÏP ; Ê • › • œ › • œ-- ½ › › § ¿
§ ¿
Ê • ½
˜E= C M± ´C 920: ±
˜E= C M± ´C 920: ±
˜C<; Õ › • œ
› • œ--
] b8 –] P E b ? R= E9 ­ `:1 P ³P P ± ´±»C „± Э C: Ò ˜_< C b94 Ðb R : ± ´C=hC R ± –] P E b ? R= E9 ­ `:1 P ³P P ± ´±»C „± Э C: Ò ˜_< C b94 Ðb R : ± ´C=hC R ±
(Ÿ (Ÿ • ½ž’œ + (› — ½œ’œ • ½ž’œ + (› — ½œ’œ ˜C<; Õ „P X7 ^ C8 ± N920 „P X7 ^ C8 ± N920 ] b8
˜X ± X Û
˜X ± X Û § §
Ÿ • ½ž Ê • ›- ›-
Ÿ • ½ž
Ê • ½ — § ¿ ½ — § ¿
,q-&fa 1yQ ce ^ a
,q-&fa 1yQ ce ^ a
¢ • ½ Õ Õ
¢ • ½›œ›œ
§ § ˜C Õ ˜C Õ C R ­ Õ C4 E9 M± ÑQ ^ Z ^ C4 ± ` ];Û8: Ëb –´C=hC R ± _94 d C2/ CÕ »C/ C R ­ Õ C4 E9 M± ÑQ ^ Z ^ C4 ± ` ];Û8: Ëb –´C=hC R ± _94 d C2/ CÕ »C/
›
Ê • ½ — § ¿ — § ¿
Ÿ • ½ž
Ÿ • ½ž Ê • ½ › › › W:^ 5 W:^ 5
»b 4 ± `8: d ±Ò –E90 ± ´±º ´C=hC R ± »¹C0: E= ÒR 8 ¯ X ±Ò» –²C 8 ± ` E b; ÏC ­ d C Õ 1 ­ P b `8: d ±Ò –E90 ± ´±º ´C=hC R ± »¹C0: E= ÒR 8 ¯ X ±Ò» –²C 8 ± ` E b; ÏC ­ d C Õ 1 ­ P b
¿ ¿ P Ò­ »b 4 ±
P Ò­ (› (›
¤d ? C Û : ^8 : ^8
  ½ ¿ ¶¶
¤d ? C Û
½ ¿
œ½ = œ½ =
½
½
›
 ›
¢ • ½ § ¿ ² œ - ½ § ¿ Uunderground Mathematics
›
›
œ - ½ § ¿ ­­
Uunderground Mathematics Z b: ± ËP< ˜undergroundmathematics.org d C : ± F R ˆ± Z b c9 C<=9 Z b: ± ËP< ˜undergroundmathematics.org d C : ± F R ˆ± Z b c9 C<=9


¢ • ½ § ¿ ²
³b2 E9 M± ` E C ˆ± E9 M± E= <; `Û @ E9 ­ E9 M± ` E C ˆ± E9 M± E= <; `Û @ E9 ­


³b2 › Ê • › • › •  œ½ › › › § ¿
› § ¿
Ê • œ½
› • ½ § ¿ ¶¶
 • ½ — § “½’ ¹ ¹¹
œ- ›
œ-
 • ½ — § “½’ ¹ › • ½  œ œ ›Ÿ ›Ÿ
›Ÿ
›Ÿ  § ¿
› •
› •
œ
œ
R b2 c9 ³»P7 C ³¹b ± E= C ¹»±b: ± ÑQ û0Û Ò ˜´C=hC R ± E 9 Z=: E Ûb/ Ò E=; ¹±b ¶C ¯ c ¯ c9 ³»P7 C ³¹b ± E= C ¹»±b: ± ÑQ û0Û Ò ˜´C=hC R ± E 9 Z=: E Ûb/ Ò E=; ¹±b ¶C ¯ c ¯
Ôb C:;= –^ ± ´±b2 `: M± D C ± R<3Ù Ò ˜³b2 C:;= –^ ± ´±b2 `: M± D C ± R<3Ù Ò ˜³b2
Ôb Ÿ Ÿ œ ½ § “½’ ¹ šIœ • ½ — § “½’ ¹ Ê Ê R b2

- œ ½ § “½’ ¹ ÒÒ

¡- ›
›
œ
œ
Ÿ
Ÿ
¡-
›
›
Ê • œ½ § ¿ ½ § ¿
Ê • œ
¢
¢ -   šIœ • ½ — § “½’ ¹
¡
¡ ŸŸ
˜P= ^8/ C<; ³¹C6 „± c9 ]4 / ] Q –P ±Ò F Ò d ´C=;7 ± ³R b Ò –] P dhC R ± R=86 ± ´±»C< ^8/ C<; ³¹C6 „± c9 ]4 / ] Q –P ±Ò F Ò d ´C=;7 ± ³R b Ò –] P dhC R ± R=86 ± ´±»C<
d ³P: 4 ³b2 ^ ·R/ ´C7=94 c9 R M± D C ± ³P: 4 ³b2 ^ ·R/ ´C7=94 c9 R M± D C ±
d c9 Îb0 9 ³P C P Э ÎÒC Ò Ÿ Ÿ œœ œ œ ˜P=
c9 Îb0 9 ³P C P Э ÎÒC Ò –]g ¼ Z C<=9 F90 d ± HgC ; ± U C (œ–]g ¼ Z C<=9 F90 d ± HgC ; ± U C (œ
Ê •
¿ œ½ § ¿ ½ § ¿
Ð Ê • œ
¿
^8/ ] R4 \: Ò ]:< S S4 c9 P C a;8 Ò –CÕ= ±S ¯ C C/ T= E= ÒR 8 ˆ± Z ±b: ± ÑQ ËC/8 ± Я ] R4 \: Ò ]:< S S4 c9 P C a;8 Ò –CÕ= ±S ¯ C C/ T= E= ÒR 8 ˆ± Z ±b: ± ÑQ ËC/8 ± Я
Ÿ
Ð
Ÿ
Э F:9 ±º¯ ¿
˜^ ±
˜^ ± ˜´C:98 C C<=9 F90 d ± ³P C7 ± û Ú j ( ³P C7 ± û Ú j ( ^8/ Õ Õ
Э F:9 ±º¯ ¿
. ½ § ½ §
.
½
½
˜´C:98 C C<=9 F90 d ±
ÑQ ¼S4 ˜E= Ch¯ _ ¹ E2/ ­ c9 Ôb û/8 ± ¼S4 ˜E= Ch¯ _ ¹ E2/ ­ c9 Ôb û/8 ±
˜E R 7: ± E2/ M± ÎC:8 ± Î ` R=
ÑQ . ½ . = = ¿ C P; ¿ ¹C ˆ ³P C7 ± ÑQ E Û ˜E R 7: ± E2/ M± ÎC:8 ± Î ` R=
› ¿
›
C P; ¿ ¹C ˆ ³P C7 ± ÑQ E Û j ]g ¼ Z U C (ž j ]g ¼ Z U C (ž
½ ½
½
ËP<
ËP< C: –бR M± E/ C; Ò d C: ± ^:4 ± E2/ M± C: –бR M± E/ C; Ò d C: ± ^:4 ± E2/ M±
˜ÏP7 ± ` P S b ³P= E 2 ± ²C 8 ± ±Q< ] ±»¹ Ðb8 Э b R –·C ; ± ^ ] c;: º¯ ` Ò –·C ; ± ^ ] c;: º¯ ` Ò
˜ÏP7 ± ` P S b ³P= E 2 ± ²C 8 ± ±Q< ] ±»¹ Ðb8 Э b R
E9 ­ ´C C ¯ R= b _ ’ ˜Ïb<6:9 ]:< \=:4 c ¯ ´C C ¯ R= b _ ’ ˜Ïb<6:9 ]:< \=:4 c ¯
E9 ­
“_94: ± ^= ¹ ²C d ËC/8 „±
“_94: ± ^= ¹ ²C d ËC/8 „±
xiv
xiv
11-038 MOE book 33.indd 14
11-038 MOE book 33.indd 14 25/12/2023 4:35 PM
25/12/2023 4:35 PM